Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A = 2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 16\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
\(A = 2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 16\)
A. \(11\)
B. \(6\)
C. \(8\)
D. \(14\)
 

Stasenndb

New member
Chọn đáp án là: B
Phương pháp giải:
Đưa biểu thức về dạng: \(A = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + a\)
Khi đó biểu thức A min khi \(f\left( x \right) = 0\) và GTNN của A chính bằng a
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A = 2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 16\\\,\,\,\,\, = {x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 + 6\\\,\,\,\,\, = {(x - 3y)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + 6\end{array}\)
Ta có: \({(x - 3y)^2} \ge 0;\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi x,y
\(A{\rm{ }}min \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3y} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 0\\x - 3 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\)
Vậy GTNN của A là 6 khi \(x = 3\) và \(y = 1\)
Chọn B
 
Top