a) Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20} - 3} \right) + \sqrt {45} .\) b) Chứng minh rằng \(\sqrt {24 + 16\sqrt 2 } - \sqrt

[Nguyễn Hồng Yến]

a) Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20} - 3} \right) + \sqrt {45} .\)
b) Chứng minh rằng \(\sqrt {24 + 16\sqrt 2 } - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } = 4\sqrt 2 .\)
c) Tìm tập hợp các giá trị của \(x\) sao cho \(\sqrt {2x + 1} \le 5\)
A \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 10\\{\rm{c)}}\,\, - \frac{1}{2} \le x \le 12\end{array}\)
B \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 5\\{\rm{c)}}\,\,x \le 12\end{array}\)
C \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 3\sqrt 5 \\{\rm{c)}}\,\,x \le 12\end{array}\)
D \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 6\sqrt 5 \\{\rm{c)}}\,\,\frac{1}{2} \le x \le 12\end{array}\)

 

[Lại Phương Thanh]

Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
a) Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức \(A,B\) mà \(B \ge 0\), ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{A^2}.\,B} = A\sqrt B ,\,\,khi\,\,A \ge 0\\\sqrt {{A^2}.B} = - A\sqrt B ,\,\,khi\,\,A < 0\end{array}\)
b) Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\)
c) \(\sqrt {f\left( x \right)} \ge g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) < 0\\f\left( x \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \ge {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20} - 3} \right) + \sqrt {45} .\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20} - 3} \right) + \sqrt {45} \\A = \sqrt 5 .\sqrt {20} - 3.\sqrt 5 + \sqrt {{3^2}.5} \\A = \sqrt {100} - 3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 \\A = 10 + \left( { - 3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 } \right)\\A = 10\end{array}\)
b) Chứng minh rằng \(\sqrt {24 + 16\sqrt 2 } - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } = 4\sqrt 2 .\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}VT = \sqrt {24 + 16\sqrt 2 } - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } \\VT = \sqrt {16 + 2.4.2\sqrt 2 + 8} - \sqrt {16 - 2.4.\sqrt 2 + 8} \\VT = \sqrt {{{\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {4 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} \\VT = \left| {4 + 2\sqrt 2 } \right| - \left| {4 - 2\sqrt 2 } \right|\\VT = 4 + 2\sqrt 2 - \left( {4 - 2\sqrt 2 } \right)\,\,\,\left( {do\,\,4 - 2\sqrt 2 > 0} \right)\\VT = 4 + 2\sqrt 2 - 4 + 2\sqrt 2 \\VT = 4\sqrt 2 = VP\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
c) Tìm tập hợp các giá trị của \(x\) sao cho \(\sqrt {2x + 1} \le 5\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge - 1 \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2}\)
Khi đó, bất phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow 2x + 1 \le 25\)
\( \Leftrightarrow 2x \le 24 \Leftrightarrow x \le 12\)
Kết hợp với điều kiện, ta có: \( - \frac{1}{2} \le x \le 12\)
Chọn A.