Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′, khoảng cách từ C đến BB′ bằng 2a, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB′ và CC′ lần lượt bằng a và $a\sqrt 3 $,

Thê Hy

New member
Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′, khoảng cách từ C đến BB′ bằng 2a, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB′ và CC′ lần lượt bằng a và $a\sqrt 3 $, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng(A′B′C′) là trung điểm M của B′C′ và A′M = $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. ${{a}^{3}}$.
 
Solution
Chọn C.
1652502099401.png
Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BB',CC'\Rightarrow AE=a,AF=a\sqrt{3}.$
Ta có
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} BB' \bot AE\\ BB' \bot AF \end{array} \right. \Rightarrow BB' \Rightarrow \left( {AEF} \right)\\ \Rightarrow BB' \bot EF\\ \Rightarrow EF = d\left( {C,BB'} \right) = 2a. \end{array}$
Suy ra $\Delta AEF$ vuông tại $A.$
Gọi $K=MM'\cap EF\Rightarrow K$ là trung điểm của $EF\Rightarrow AK=\frac{1}{2}EF=a.$
Lại có $MM'//BB'\Rightarrow MM'\bot \left( AEF \right)\Rightarrow MM'\bot AK.$
Suy ra $\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{AM{{'}^{2}}}$$ \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AM...
Chọn C.
1652502099401.png
Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BB',CC'\Rightarrow AE=a,AF=a\sqrt{3}.$
Ta có
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} BB' \bot AE\\ BB' \bot AF \end{array} \right. \Rightarrow BB' \Rightarrow \left( {AEF} \right)\\ \Rightarrow BB' \bot EF\\ \Rightarrow EF = d\left( {C,BB'} \right) = 2a. \end{array}$
Suy ra $\Delta AEF$ vuông tại $A.$
Gọi $K=MM'\cap EF\Rightarrow K$ là trung điểm của $EF\Rightarrow AK=\frac{1}{2}EF=a.$
Lại có $MM'//BB'\Rightarrow MM'\bot \left( AEF \right)\Rightarrow MM'\bot AK.$
Suy ra $\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{AM{{'}^{2}}}$$ \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AM = 2a$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $EF\Rightarrow AH\bot \left( BCC'B' \right).$
Ta có
$\begin{array}{l} \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}}\\ \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\\ M'{M^2} = A{M^2} + AM{'^2} = \frac{{16a}}{3}\\ \Rightarrow MM' = \frac{{4\sqrt 3 a}}{3}. \end{array}$
Ta cũng có ${{S}_{BCC'B'}}=d\left( C,BB' \right).BB'=\frac{8\sqrt{3}{{a}^{2}}}{3}.$
Suy ra ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{3}{2}{{V}_{A.BCC'B'}}=\frac{3}{2}.\frac{1}{3}.AH.{{S}_{BCC'B'}}=2{{a}^{3}}.$
 
Last edited by a moderator:
Solution
Top