Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều và A′A = A′B = A′C. Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc 60$^0$ và khoảng cách giữa

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều và A′A = A′B = A′C. Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc 60$^0$ và khoảng cách giữa đường thẳng AA′ và mặt phẳng (BCC′B′) bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.$\frac{4\sqrt{3}}{9}$.
B. $\frac{16\sqrt{3}}{27}$.
C. $\frac{16\sqrt{3}}{9}$.
D. $\frac{16\sqrt{3}}{18}$.
 
Solution
Chọn B.
1652501212949.png
* Gọi $H$ là trung điểm $BC,O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Vì $A'A=A'B=A'C$ nên hình chiếu của $A'$ lên $\left( ABC \right)$ là điểm $O$ hay $A'O\bot \left( ABC \right).$
Gọi $E$ là điểm sao cho $BCAE$ là hình bình hành.
$\Leftrightarrow d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( \left( AA'E \right);\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( H;\left( AA'E \right) \right).$
* Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ lên $AA'.$
Vì $\left\{ \begin{array}{l} A'O \bot AE\\ A'O \bot AE \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left( AA'O \right)\bot AE\Rightarrow OK\bot AE$
$\Rightarrow OK\bot \left( AA'E \right).$
* Ta có:
$\begin{array}{l} \frac{{d\left( {O;\left( {A'AE} \right)}...
Chọn B.
1652501212949.png
* Gọi $H$ là trung điểm $BC,O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Vì $A'A=A'B=A'C$ nên hình chiếu của $A'$ lên $\left( ABC \right)$ là điểm $O$ hay $A'O\bot \left( ABC \right).$
Gọi $E$ là điểm sao cho $BCAE$ là hình bình hành.
$\Leftrightarrow d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( \left( AA'E \right);\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( H;\left( AA'E \right) \right).$
* Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ lên $AA'.$
Vì $\left\{ \begin{array}{l} A'O \bot AE\\ A'O \bot AE \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left( AA'O \right)\bot AE\Rightarrow OK\bot AE$
$\Rightarrow OK\bot \left( AA'E \right).$
* Ta có:
$\begin{array}{l} \frac{{d\left( {O;\left( {A'AE} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {A'AE} \right)} \right)}} = \frac{{OK}}{{d\left( {H;\left( {A'AE} \right)} \right)}}\\ = \frac{{AO}}{{AH}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow OK = \frac{2}{3}. \end{array}$
* Góc giữa $AA'$ và $\left( ABC \right)$ là góc giữa $AA'$ và $AO$ bằng ${{60}^{0}}.$
$\Rightarrow AO=\frac{OK}{\sin {{60}^{0}}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{AB\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AB=\frac{4}{3}.$
* $A'O=AO.\tan {{60}^{0}}=\frac{4}{3}.$
Vậy $V=A'O.{{S}_{ABC}}=\frac{4}{3}.\frac{{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{27}.$
 
Solution

Tìm kiếm

Top