Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo BD′. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích
- Thread starter Thu Ha
- Start date
Solution
Chọn B.
Gọi $O$ là trung điểm $BD'.$
Gọi $E,F$ là tâm hình vuông $ABB'A'$ và $DCC'D'.$
Giả sử thiết diện qua $BD'$ và cắt $AD$ trung điểm $M$ của $AD.$
Trong $\left( ADC'B' \right)$ gọi $N=B'C'\cap OM\Rightarrow N$ là trung điểm $B'C'.$
$\Rightarrow MN=AB'=BC'=\sqrt{2}.$
Tứ giác $BMD'N$ là hình thoi $\left( MB=MD'=NB=ND'=\frac{\sqrt{5}}{2} \right).$
${{S}_{BMD'N}}=\frac{1}{2}MN.BD'=\frac{\sqrt{6}}{2}.$
Ta chứng minh $M$ là trung điểm của $AD$ thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Lấy $M'$ bất kỳ trên $AD.$ Kẻ $M'H\bot EF,M'K\bot BD'.$
Tứ giác $MM'HO$ là hình bình hành $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} M'H = MO\\ M'H//MO \end{array} \right..$
Mà $MO\bot \left( A'BCD'...
Gọi $E,F$ là tâm hình vuông $ABB'A'$ và $DCC'D'.$
Giả sử thiết diện qua $BD'$ và cắt $AD$ trung điểm $M$ của $AD.$
Trong $\left( ADC'B' \right)$ gọi $N=B'C'\cap OM\Rightarrow N$ là trung điểm $B'C'.$
$\Rightarrow MN=AB'=BC'=\sqrt{2}.$
Tứ giác $BMD'N$ là hình thoi $\left( MB=MD'=NB=ND'=\frac{\sqrt{5}}{2} \right).$
${{S}_{BMD'N}}=\frac{1}{2}MN.BD'=\frac{\sqrt{6}}{2}.$
Ta chứng minh $M$ là trung điểm của $AD$ thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Lấy $M'$ bất kỳ trên $AD.$ Kẻ $M'H\bot EF,M'K\bot BD'.$
Tứ giác $MM'HO$ là hình bình hành $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} M'H = MO\\ M'H//MO \end{array} \right..$
Mà $MO\bot \left( A'BCD'...
Nguyễn Thị Thuý
New member
Chọn B.
Gọi $O$ là trung điểm $BD'.$
Gọi $E,F$ là tâm hình vuông $ABB'A'$ và $DCC'D'.$
Giả sử thiết diện qua $BD'$ và cắt $AD$ trung điểm $M$ của $AD.$
Trong $\left( ADC'B' \right)$ gọi $N=B'C'\cap OM\Rightarrow N$ là trung điểm $B'C'.$
$\Rightarrow MN=AB'=BC'=\sqrt{2}.$
Tứ giác $BMD'N$ là hình thoi $\left( MB=MD'=NB=ND'=\frac{\sqrt{5}}{2} \right).$
${{S}_{BMD'N}}=\frac{1}{2}MN.BD'=\frac{\sqrt{6}}{2}.$
Ta chứng minh $M$ là trung điểm của $AD$ thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Lấy $M'$ bất kỳ trên $AD.$ Kẻ $M'H\bot EF,M'K\bot BD'.$
Tứ giác $MM'HO$ là hình bình hành $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} M'H = MO\\ M'H//MO \end{array} \right..$
Mà $MO\bot \left( A'BCD' \right)\Rightarrow M'H\bot \left( A'BCD' \right).$
$\Delta M'HK$ vuông tại $H\Rightarrow M'K\ge M'H=MO$
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {S_{BM'D'N'}} = 2{S_{\Delta M'BD'}} = 2.\frac{1}{2}M'K.BD' = \sqrt 3 M'K\\ {S_{BMD'N}} = 2{S_{\Delta MBD}} = 2.\frac{1}{2}MO.BD' = \sqrt 3 MO \end{array} \right.\\ \Rightarrow {S_{BM'D'N'}} \ge {S_{BMD'N}}. \end{array}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M'\equiv M.$
Gọi $E,F$ là tâm hình vuông $ABB'A'$ và $DCC'D'.$
Giả sử thiết diện qua $BD'$ và cắt $AD$ trung điểm $M$ của $AD.$
Trong $\left( ADC'B' \right)$ gọi $N=B'C'\cap OM\Rightarrow N$ là trung điểm $B'C'.$
$\Rightarrow MN=AB'=BC'=\sqrt{2}.$
Tứ giác $BMD'N$ là hình thoi $\left( MB=MD'=NB=ND'=\frac{\sqrt{5}}{2} \right).$
${{S}_{BMD'N}}=\frac{1}{2}MN.BD'=\frac{\sqrt{6}}{2}.$
Ta chứng minh $M$ là trung điểm của $AD$ thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Lấy $M'$ bất kỳ trên $AD.$ Kẻ $M'H\bot EF,M'K\bot BD'.$
Tứ giác $MM'HO$ là hình bình hành $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} M'H = MO\\ M'H//MO \end{array} \right..$
Mà $MO\bot \left( A'BCD' \right)\Rightarrow M'H\bot \left( A'BCD' \right).$
$\Delta M'HK$ vuông tại $H\Rightarrow M'K\ge M'H=MO$
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {S_{BM'D'N'}} = 2{S_{\Delta M'BD'}} = 2.\frac{1}{2}M'K.BD' = \sqrt 3 M'K\\ {S_{BMD'N}} = 2{S_{\Delta MBD}} = 2.\frac{1}{2}MO.BD' = \sqrt 3 MO \end{array} \right.\\ \Rightarrow {S_{BM'D'N'}} \ge {S_{BMD'N}}. \end{array}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M'\equiv M.$