Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng hình
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng hình

Nếu biết đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P), để tình khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng ta có 2 cách:

  • Cách 1: Sử dụng kiến thức hình học lớp 11 (bài này mình sẽ cập nhập ở bài sau)
  • Cách 2: Sử dụng công thức

Công thức tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

Vì đường thẳng Δ // (P) nên khoảng cách từ 1 điểm bất kì tới (P) chính là khoảng cách từ Δ tới (P).

Giả thiết rằng điểm M(x0; y0; z0) và mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d = 0. Khi này, khoảng cách từ Δ tới (P) được áp dụng theo công thức:

$d\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Một công thức khá đơn giản đúng không nào? Giờ chúng ta vào phần bài tập minh họa để áp dụng nhé

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 4t\\ y = 1 + t\\ z = 3 – t \end{array} \right.$ và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 11 = 0

Lời giải

Ta thấy:

  • Đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 4t\\ y = 1 + t\\ z = 3 – t \end{array} \right.$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = (4; 1; – 1)
  • Mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 11 = 0 có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n $ = ( 1; -2; 2)
  • Ta thấy $\overrightarrow u .\overrightarrow n $ = 4.1 + 1.(-2) + (-1).2 = 0 => Δ // (P)
  • Điểm M(1; 1; 3) ∈ Δ

Áp dụng công thức: $d\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + ( – 2).1 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}$

Khoảng cách từ đường thẳng Δ tới mặt phẳng (P) là $\frac{{6\sqrt 5 }}{5}$

Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho trước đường thẳng Δ và mặt phẳng (P). Hãy tìm khoảng cách từ Δ tới (P) khi biết phương trình của chúng lần lượt là

a) phương trình chính tắc đường thẳng Δ: $\frac{x}{4} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 6}}{3}$ và phương trình mặt phẳng (P): x – 2y + 1 = 0

b) phương trình tham số đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = 3 – t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.$ và phương trình mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0

Lời giải

a)

  • Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = ( 4; 2; 3)
  • Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow n $ = (1 ; – 2; 0)

Ta thấy $\overrightarrow u .\overrightarrow n $ = 4.1 + 2.( – 2) + 3.0 = 0 => Δ // (P)

Mặt khác, ta thấy M(0; 1; -6) ∈ Δ nên khoảng cách từ M tới (P)

$d\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + \left( { – 2} \right).1 + 0.\left( { – 6} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$

Khoảng cách từ đường thẳng Δ tới mặt phẳng (P) là $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$

b)

  • Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = ( 3; – 1; 4)
  • Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow n $ = ( 2; -3; 5)

Ta thấy $\overrightarrow u .\overrightarrow n $ = 3.2 + (-1).(-3) + 4.5 = 29 ≠ 0

=> Δ cắt (P)

Bài viết chia sẻ công thức tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng tới đây tạm dừng. Hy vọng đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập.