Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để học tốt hình học bạn cần biết được rõ cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, phần này sẽ giúp bạn.

Bạn được học 2 cách xác định góc này ở bậc THPT:

1. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dựa vào hình học

Ở lớp 11, để tìm góc này bạn thường trải qua 2 bước cơ bản sau:

  • Bước 1: Dựa vào kiến thức hình học để tìm được ra góc
  • Bước 2: Vận dụng công thức lượng giác để suy ra

2. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dựa vào công thức

Giả sử đường thẳng d có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + at\\ y = {y_0} + bt\\ z = {z_0} + ct \end{array} \right.$ và phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz = 0

  • Từ phương trình đường thẳng d, ta có vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {a;\,b;\,c} \right)$
  • Từ phương trình mặt phẳng, ta có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {A;\,B;\,C} \right)$

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức: $\sin \left( {d,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}$ $ = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Ví dụ: Hay tìm góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (β) biết:

  • đường thẳng d có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l} x = 3 – 2t\\ y = 1 + t\\ z = 2 – 4t \end{array} \right.$
  • mặt phẳng (β) có phương trình: 2x + y – 6 = 0

Lời giải

Từ phương trình đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l} x = 3 – 2t\\ y = 1 + t\\ z = 2 – 4t \end{array} \right.$ suy ra vecto chỉ phương ${\overrightarrow {{u_d}} }$ = ( – 2; 1; – 4)

Từ phương trình mặt phẳng (β) có phương trình: 2x + y – 6 = 0 suy ra vecto pháp tuyến ${\overrightarrow {{n_β}} }$ = ( 2; 1; – 6)

Áp dụng công thức: $\sin \left( {d,\,\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}$$ = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$$ = \frac{{\left| {\left( { – 2} \right).2 + 1.1 + \left( { – 4} \right).\left( { – 6} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { – 4} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { – 6} \right)}^2}} }}$$ = 0,988317$

Suy ra: α = 81,230.

Bài viết trên đây chia sẻ kiến thức về cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Hy vọng bài viết này đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập.