Hướng dẫn cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa 2 mặt phẳng

Ở bậc trung học phổ thông, bạn được học 2 cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz. Vậy cách tính góc đó như thế nào? Bài viết này sẽ giới thiệu với bạn

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng dựa vào hình học

Dựa vào hình để tính góc là kiến thức bạn được học lớp 11.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Khi tính toán bạn cần lưu ý:

  • Nếu α là góc giữa 2 mặt phẳng thì 0°≤ α ≤ 90°
  • Mặt phẳng (P) vuông với mặt phẳng (Q) thì góc của chúng là α = 90°.

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng dựa vào phương trình mặt phẳng

Giả sử ta biết phương trình của 2 mặt phẳng:

Góc giữa hai mặt phẳng

Từ 2 phương trình mặt phẳng, suy ra:

  • Vecto pháp tuyến mặt phẳng (P): $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};\,\,{B_1};\,\,{C_1}} \right)$
  • Vecto pháp tuyến mặt phẳng (Q):$\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};\,\,{B_2};\,\,{C_2}} \right)$

Khi đó, công thức tính góc giữa (P) và (Q) là: $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + \,{C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}$

Ví dụ: Trong không gian tọa độ Oxyz, biết phương trình hai mặt phẳng (P): 3x – 2y – 1 = 0 và (Q): 6x + y – 8z = 0. Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q). Hãy tìm giá trị của α.

Lời giải

Từ phương trình mặt phẳng (P): 3x – 2y – 1 = 0 => vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} $ = ( 3; – 2; – 1)

Từ phương trình mặt phẳng (Q): 6x + y – 8z = 0 => vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} $ = ( 6; 1; – 8)

Áp dụng công thức trên, ta có: $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$ $ = \frac{{\left| {3.6 + \left( { – 2} \right).1 + \left( { – 1} \right).\left( { – 8} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {1^2} + {{\left( { – 8} \right)}^2}} }}$ = 0,63824

=> α = 50,3390

Kết luận: Góc ta tìm được là α = 50,3390.

Trên đây là bài viết chia sẻ về cách tính góc giữa 2 mặt phẳng. Hy vọng bài viết này bổ ích với bạn.