Công thức đạo hàm file word

Công thức đạo hàm
Công thức đạo hàm

Chương cuối lớp 11, các em sẽ được làm quen và học các công thức đạo hàm. Ở chương này, các em được làm quen với những khái niệm, những công thức cơ bản cũng như nâng cao. Để làm tốt các dạng bài tập đạo hàm thì yêu tố đầu tiên là em cần có kiến thức căn bản, nhớ chính xác các công thức nâng cao. Vì vậy, 123hoidap đã dày công biên soạn bộ các công thức đạo hàm file word lớp 11 đầy đủ nhất. Tài liệu bao gồm:

  • công thức cơ bản
  • công thức nâng cao
  • bài tập có lời giải
  • bài tập vận dụng

Hy vọng, đây sẽ là một tài liệu đầy đủ, dễ học với em

A. Những công thức đạo hàm cần nhớ

Phần này, 123hoidap sẽ hệ thống những công thức đạo hàm cần nhớ:

1. Đạo hàm cơ bản

Đây là 6 công thức cơ bản bạn cần nhớ khi giải

Công thức đạo hàm

2. Đạo hàm của hàm số hợp

Dựa vào 6 công thức cơ bản trên, ta suy ra công thức đạo hàm của hàm số hợp sau:

Công thức đạo hàm

3. Quy tắc đạo hàm

Khi làm toán bạn cần tuân theo 6 quy tắc đạo hàm:

Công thức đạo hàm

4. Bảng tính đạo hàm của hàm số lượng giác

  • hàm cos
  • hàm sin
  • hàm tan
  • hàm cot

Công thức đạo hàm

5. Đạo hàm cấp 2

Từ công thức đạo hàm trên ta tìm được

  • đạo hàm cấp 2
  • đạo hàm cấp 3

Công thức đạo hàm

Dựa vào đó, ta suy ra công thức đạo hàm tổng quát bậc n: (f(n-1)(x) )’ = f(n)(x), với n ∈ N*

6. Bảng công thức đạo hàm đầy đủ

Từ những lý thuyết trên, 123hoidap đã xây dừng được bảng công thức đạo hàm đầy đủ nhất, giúp bạn ôn tập cũng như hệ thống nhanh trước ngày thi:

Công thức đạo hàm

B. Bài tập có lời giải

Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số sau

a) $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}$

b) $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $

c) $y = – \frac{{\cos x}}{{3{{\sin }^3}x}} + \frac{4}{3}\cot x$

Lời giải

a) $y’ = \frac{{(2x + 1)'(x + 2) – (x + 2)'(2x + 1)}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}$

b) Ta có: $y’ = x’\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)’x$ $ = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{({x^2} + 1)’}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.x$ $ = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ $ = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

c) Bằng phép biến đổi $y = – \frac{1}{3}\cot x(1 + {\cot ^2}x) + \frac{4}{3}\cot x = – \frac{1}{3}{\cot ^3}x + \cot x$

Suy ra $y’ = {\cot ^2}x(1 + {\cot ^2}x) – 1 – {\cot ^2}x = {\cot ^4}x – 1$

Bài tập 2: Tìm $m$ để các hàm số $y = (m – 1){x^3} – 3(m + 2){x^2} – 6(m + 2)x + 1$ có $y’ \geqslant 0,{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}$

Lời giải

Ta có: $y’ = 3\left[ {(m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2)} \right]$

Do đó $y’ \geqslant 0 \Leftrightarrow (m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2) \geqslant 0$ (1)

$ \bullet $ $m = 1$ thì (1) $ \Leftrightarrow – 6x – 6 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant – 1$ nên $m = 1$ (loại)

$ \bullet $ $m \ne 1$ thì (1) đúng với $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = m – 1 > 0 \hfill \\ \Delta ‘ \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ (m + 1)(4 – m) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m \geqslant 4$

Vậy $m \geqslant 4$ là những giá trị cần tìm.

Bài tập 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau $f(x) = \left\{ \begin{gathered} {x^2}\sin \frac{1}{x}{\text{ khi }}x \ne 0 \hfill \\ 0{\text{ khi }}x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lời giải

Với $x \ne 0$ ta có: $f'(x) = 2x\sin \frac{1}{x} – \cos \frac{1}{x}$

Tại $x = 0$ ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0$

Vậy $f'(x) = \left\{ \begin{gathered} 2x\sin \frac{1}{x} – \cos \frac{1}{x}{\text{ khi }}x \ne 0 \hfill \\ 0{\text{ khi }}x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

C. Bài tập trắc nghiệm tự giải

Câu 1. Cho hàm số $f\left( x \right) = 4x + \frac{1}{{{x^2}}}$ . Giá trị của $f’\left( 2 \right) + f’\left( 1 \right)$ bằng:

A. $\frac{{15}}{4}$

B. $\frac{{23}}{4}$

C. $\frac{{13}}{2}$

D. $\frac{{15}}{2}$

Câu 2. Đạo hàm của hàm số $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $ bằng:

A. $\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

B. $\frac{x}{{{x^2} + 1}}$

C. $\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

D. $\frac{{2{x^2} + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}$

Câu 3. Cho hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{x – 2}}$ có đồ thị là $\left( {\text{C}} \right).$ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm ${\text{M}}$ thuộc $\left( {\text{C}} \right)$ biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại ${\text{A,B}}$ sao cho côsin góc $\widehat {ABI}$ bằng $\frac{4}{{\sqrt {17} }}$, với ${\text{I}}\left( {2;2} \right)$ .

A. $y = – \frac{1}{4}x – \frac{3}{2}$; $y = – \frac{1}{4}x – \frac{7}{2}$

B. $y = – \frac{1}{4}x – \frac{3}{2}$; $y = – \frac{1}{4}x + \frac{7}{2}$

C. $y = – \frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$; $y = – \frac{1}{4}x – \frac{7}{2}$

D. $y = – \frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$; $y = – \frac{1}{4}x + \frac{7}{2}$

Câu 4. Cho hàm số ${\text{y}} = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}$ có đồ thị là $\left( {\text{C}} \right).$ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( {\text{C}} \right)$ sao cho tiếp tuyến này cắt các trục ${\text{O}}x,{\text{ O}}y$ lần lượt tại các điểm ${\text{A,B}}$ thoả mãn ${\text{OA}} = {\text{4OB}}.$

A. $\left[ \begin{gathered} y = – \frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \hfill \\ y = – \frac{1}{4}x + \frac{{13}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

B. $\left[ \begin{gathered} y = – \frac{1}{4}x – \frac{5}{4} \hfill \\ y = – \frac{1}{4}x + \frac{{13}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

C. $\left[ \begin{gathered} y = – \frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \hfill \\ y = – \frac{1}{4}x – \frac{{13}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

D. $\left[ \begin{gathered} y = – \frac{1}{4}x – \frac{5}{4} \hfill \\ y = – \frac{1}{4}x – \frac{{13}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Câu 5. Cho hàm số $y = \frac{{\left( {3m + 1} \right)x – {m^2} + m}}{{x + m}}$có đồ thị là $\left( {{C_m}} \right)$, $m \in \mathbb{R}$ và $m \ne 0$.Với giá trị nào của $m$thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng $x – y – 10 = 0$.

A. $m = – 1$;$m = – \frac{1}{5}$

B. $m = 1$;$m = – \frac{1}{5}$

C. $m = – 1$;$m = \frac{1}{5}$

D. $m = 1$;$m = \frac{1}{5}$

Trên đây là bài viết chia sẻ các công thức đạo hàm lớp 11 cơ bản và nâng cao. Để có thể giải nhanh những bài toán đạo hàm hay chứng minh biểu thức thì các em cần thuộc làm lòng các công thức, nhớ là không chỉ công thức cơ bản đâu nhé. Khi em học các công thức đạo hàm một cách nhuần nhuyễn thì việc giải các bài tập trở lên đơn giản hơn bao giờ hết bởi có những bài chỉ cần thay công thức vào là ra ngay kết quả. Tuy nhiên nó chỉ dễ khi em thực sự chăm học, thường xuyên xem lại công thức còn lười thì nó lại rất là khó. Hãy chăm chỉ học bạn nhé. Cuối cùng, xin chúc các bạn học thuộc và học thật tốt phần đạo hàm nha.